投稿者 松本 日時 2003 年 6 月 21 日 07:18:24:
回答先: Re: 月面上の重力について 投稿者 星は何でも知っている 日時 2003 年 6 月 19 日 05:30:06:
|> 地球と月の質量の差が１：１/100の数値はどのように
|> して導きだされたのでしょうか？
∇月の質量は、月が地球を回る軌道の長半径と、
周期、重力定数及び地球の質量から求めること
ができます。
計算してみるとわかりますが、重力定数や周期、
月と地球の間の距離などの観測値は正確な値でな
いと、月の質量の計算結果がかなり違ってきます。
ケプラーが第三法則−調和の法則を発見したのが
1618年なので、今から約400年前には月や太陽の
質量を求める方程式が存在したことになりますね。
「ケプラー・天空の旋律，吉田武，1999年」
・太陽・惑星系の現実の問題に移ろう。太陽質量を
M(S)，対象とする惑星の質量をmで表し，上式の質量
を，二体の換算質量，mM(S)/(m+M(S))で置き換える。
さらに，k=GmM(S)を用いて，以下の結果を得る。
T^2=4π^2a^3/G(m+M(S))
惑星の質量は太陽と比べて無視し得るから，全ての
惑星に対して成り立つ式：
T^2=4π^2a^3/GM(S)
が得られる。これが「ケプラーの第三法則」である。
彼は，この結果を，大宇宙の調和の証である，と
理解した。さて，この式をM(S)について解くと，
M(S)=4π^2a^3/GT^2
となるが，この式に観測値，即ち，地球の長半径
a=1.5×10^11m，周期T=1年=31557600s，重力定数
G=6.672×10^-11Nm^2/kg^2を代入して，太陽質量：
M(S)=2×10^30kg
が得られる。第三法則は”宇宙の秤”なのである。
・しかし，万有引力定数は，如何にして”計測”
されるのであろうか。「万物が互いに引き合う」
とは言っても，当然それは日常の感覚では把握で
きない，計測可能な大きさを持たないのである。
提唱者のニュートンですら絶望視したこの難問に
対して，見事な実験で解答を与えたのが，一生涯，
孤独を最愛の恋人として暮らした「キャベンデッシュ」
である。彼は，大きな質量を持つ球体を紐で吊し，
固定した球体との”引きの強さ”を「捻れ秤」を
用いて，直接的に，Gの値を計測したのである−
捻れ秤とは，紐の捻れを利用した−”一種の振子”
である。彼はこの実験を，「地球の重さを測る実験」
と称した。
・それでは，万有引力定数の値を
G=6.672×10^-11Nm^2/kg^2，
地球表面の重力加速度の値をg=9.80[N/kg]，地球半径
（赤道半径）を6378kmとして，地球の質量を算出して
見よう−gの値は，ごく普通の振子で測れる，即ち，
地球の質量は，これら”二つの振子”により求めら
れる訳である。地球質量をM(E)，参照物体の質量を
mで表し，万有引力と，表面での重力の値を等値−
これは，45節で得た結論「均質な球状物体は質点と
して扱える」がその根拠である−して
F=-GmM(E)/r^2=-mg → GM(E)/r^2=g
上式を，M(E)について解いて，M(E)=r^2g/G，よって
M(E)=(6.378×10^6)^2×9.80/6.672×10^-11
=5.975×10^24kg
∇月と地球間の距離とそれぞれの質量、月が地球を
回る周期、重力定数の関係式から、重力定数と月と
地球間の距離とそれぞれの質量を与えて、例として
月が地球を回る周期を求めた場合です。
「力学２ レポート問題3 解説」
http://www-nuclth.phys.sci.osaka-u.ac.jp/users/exercises/mech2/rep3.pdf
∇ちょっと変わったﾎｰﾑﾍﾟｰｼﾞですが、
「電卓で行う軌道解析・制御設計」
http://village.infoweb.ne.jp/~anoda/space/mlab06/mlab06.htm